离散傅里叶变换(DFT)

对于音频信号处理而言,离散傅里叶变化(DFT)是最最常用的函数工具。它将信号的时域采样变换为其离散时间傅里叶变化(DTFT)的频域采样(在\([0,2\pi]\)之间进行均匀采样),最后得到数字信号在区间\([0,(k-1)f_s/N]\)内的离散频谱值。

在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。

DFT的变化等式为:
$$X[k]= \sum_{n=0}^{N-1}{x[n]e^{−j2{\pi}kn/N}} (k=0,…,N−1)$$

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# DFT的Python实现
import numpy as np

def DFT(x):
"""
Input:
x (numpy array) = input time sequence of N samples
Output:
X (numpy array) = The N point DFT of the input sequence x
"""

N = len(x)
n = np.arange(N)
X = np.array([])

for k in range(N):
Xk = sum(x*np.conjugate(np.exp(1j*2*np.pi*k/N * n)))
X = np.append(X, Xk)

return X

DFT的逆变化:

$$x[n]= \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X[k]e^{j2{\pi}nk/N}} (n=0,…,N−1)$$

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# IDFT的Python实现
import numpy as np

def IDFT(x):
"""
Input:
X (numpy array) = frequency spectrum (length N)
Output:
The function should return a numpy array of length N
x (numpy array) = The N point IDFT of the frequency spectrum X
"""

x = np.array([])
N = len(X)

for n in range(N):
xn = 1.0/N * sum(X*np.exp(1j*2*np.pi*n/N * np.arange(N)))
x = np.append(x,xn)

return x

DFT的几条重要性质

备注:\(x[n]\)是时域信号,\(X[k]\)是相应的频域信号;\(mX=20\log_{10}(|X|)\)是幅度谱(dB),\(pX=\angle{X} \)是相位谱。

P1. 线性性质(Linearity)
$$ax_1[n]+bx_2[n] \Leftrightarrow aX_1[k]+bX_2[k] $$

P2. 时移性和频移性(Shift) :移动之后幅度谱不变相位谱改变。
$$x[n-n_0] \Leftrightarrow e^{-j2{\pi}kn_0/N}X[k] $$

P3. 对称性(Symmetry):
$$\begin{align} x[n]real \Leftrightarrow \mathfrak{R}(X[k])even{\quad}and{\quad}\mathfrak{I}(X[k])odd \newline \Leftrightarrow |X[k]|even \quad and \quad \angle{X[k]}odd \quad \end{align}$$

$$\begin{align} x[n]real\&even \Leftrightarrow \mathfrak{R}(X[k])even{\quad}and{\quad}\mathfrak{I}(X[k])=0 \newline \Leftrightarrow |X[k]|even \quad and \quad \angle{X[k]}=n\pi \quad \end{align}$$

P4. 卷积定理(Convolution)
$$x_1[n]\otimes x_2[n] \Leftrightarrow X_1[K]X_2[K]$$

DFT中的处理方法

  • Energy conservation
  • Phase unwrapping
  • Zero padding
  • Fast Fourier Transform (FFT)
  • FFT and zero-phase windowing
  • Analysis/synthesis